Lieu geometrique (Locus)
Le lieu geometrique trace la trajectoire d'un point B quand un point A (rouge) se deplace le long de son chemin. Deplacez les points pour voir les lieux se mettre a jour.
Cas simples
1. Symetrie centrale sur cercle
A sur le cercle, B = symetrie(A, centre=O). Le lieu de B est le meme cercle.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=3, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
B = symetrie(A, centre=O, couleur="vert")
L = lieu(B, A, couleur="violet")2. Milieu avec point fixe
A sur le cercle de rayon 4, P fixe. M = milieu(A, P). Deplacez P pour deformer l'ellipse.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=4, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
P = point(3, 0, couleur="vert")
M = milieu(A, P, couleur="orange")
L = lieu(M, A, couleur="violet")3. Driver sur segment
D glisse sur [AB], P fixe. M = milieu(D, P). Le lieu de M est un segment.
A = point(0, 0, couleur="bleu")
B = point(8, 0, couleur="bleu")
s = segment(A, B, couleur="bleu")
P = point(0, 6, couleur="vert")
D = point_sur(s, 0.5, couleur="rouge")
M = milieu(D, P, couleur="orange")
L = lieu(M, D, couleur="violet")4. Symetrie de y=x²
A sur y=x², B = symetrie(A, centre=O). Le lieu de B est y=-x².
O = point(0, 0, couleur="bleu")
f = courbe("y = x^2", couleur="bleu")
A = point_sur(f, 1, couleur="rouge")
B = symetrie(A, centre=O, couleur="vert")
L = lieu(B, A, couleur="violet")5. Identite : lieu(A, A)
Le lieu de A lui-meme retrace le chemin du driver (cercle).
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=3, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
L = lieu(A, A, couleur="violet")6. Driver sur arc
A sur l'arc PQ, B = symetrie(A, centre=O). Le lieu est un arc symetrique.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
P = point(4, 0, couleur="bleu")
Q = point(0, 4, couleur="bleu")
a = arc(P, O, Q, couleur="bleu")
A = point_sur(a, 0.5, couleur="rouge")
B = symetrie(A, centre=O, couleur="vert")
L = lieu(B, A, couleur="violet")Constructions classiques
7. Ellipse via mediatrice
F1, F2 foyers. A sur le cercle de rayon 2a centre sur F1. La mediatrice de [AF2] coupe la droite (F1A) en P. Le lieu de P est l'ellipse de foyers F1, F2.
F1 = point(-3, 0, couleur="bleu")
F2 = point(3, 0, couleur="bleu")
c = cercle(F1, rayon=8, couleur="gris")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
med = mediatrice(A, F2)
style(med, couleur="gris")
d = droite(F1, A, couleur="gris")
P = intersection(med, d, couleur="vert")
L = lieu(P, A, couleur="violet")8. Rosace r = 3·cos(3θ)
A sur le cercle, θ = angle polaire de A. B = homothetie(A, centre=O, rapport=cos(3θ)). Rosace à 3 pétales.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=3, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
theta = angle_polaire(O, A)
k = cos(3 * theta)
B = homothetie(A, centre=O, rapport=k, couleur="orange")
L = lieu(B, A, couleur="violet")9. Cissoide de Diocles
Cercle C, droite d tangente. A sur C, (OA) coupe d en M. B = symetrie(M, centre=A). Le lieu de B est la cissoide.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=2, couleur="bleu")
T1 = point(4, -8, couleur="gris")
T2 = point(4, 8, couleur="gris")
d = droite(T1, T2, couleur="gris")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
l = droite(O, A, couleur="gris")
M = intersection(l, d, couleur="orange")
B = symetrie(M, centre=A, couleur="vert")
L = lieu(B, A, couleur="violet")10. Conchoide de Nicomede
Point fixe O, droite d. D glisse sur d. Deux points a distance fixe de D sur (OD). Deux branches : violette et cyan.
O = point(0, 3, couleur="bleu")
A = point(-10, 0, couleur="gris")
B = point(10, 0, couleur="gris")
d = droite(A, B, couleur="gris")
D = point_sur(d, 0.5, couleur="rouge")
l = droite(O, D, couleur="gris")
c = cercle(D, rayon=4, couleur="gris")
P1 = intersection(l, c, choix=1, couleur="vert")
P2 = intersection(l, c, choix=2, couleur="orange")
L1 = lieu(P1, D, couleur="violet")
L2 = lieu(P2, D, couleur="cyan")Transformations
11. Rotation autour du driver
A sur le cercle, P fixe. B = rotation(P, centre=A, angle=120). Courbe epicycloide. Deplacez P.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=3, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
P = point(5, 0, couleur="vert")
B = rotation(P, centre=A, angle=120, couleur="orange")
L = lieu(B, A, couleur="violet")12. Homothetie variable
A sur le cercle, P fixe. B = homothetie(P, centre=A, rapport=0.5). Deplacez P pour explorer.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=3, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
P = point(5, 3, couleur="vert")
B = homothetie(P, centre=A, rapport=0.5, couleur="orange")
L = lieu(B, A, couleur="violet")Scalars + Sliders
13. Limacon de Pascal
Slider d controle la distance fixe. d=0 : point, d=4 (=2a) : cardioide, d>4 : convexe.
K = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(K, rayon=2, couleur="bleu")
O = point(2, 0, couleur="vert")
A = point_sur(c, 90, couleur="rouge")
n = distance(O, A)
d = slider(min=0, max=8, valeur=3, pas=0.1)
r = 1 + d/n
P = homothetie(A, centre=O, rapport=r, couleur="orange")
L = lieu(P, A, couleur="violet")14. Epicycloide parametrique
Slider a controle l'angle de rotation. 120=deltoide, 90=asteroide, 72=5 boucles. Deplacez aussi P (vert).
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=3, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
P = point(5, 0, couleur="vert")
a = slider(min=30, max=300, valeur=120, pas=10)
B = rotation(P, centre=A, angle=a, couleur="orange")
L = lieu(B, A, couleur="violet")Cas speciaux
16. Discontinuites (y=1/x)
A sur y=1/x, B = symetrie(A, centre=O). Discontinuite a l'asymptote x=0.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
f = courbe("y = 1/x", couleur="bleu")
A = point_sur(f, 1, couleur="rouge")
B = symetrie(A, centre=O, couleur="vert")
L = lieu(B, A, couleur="violet")17. Chaine profonde
A sur le cercle, B = rotation(A, 60), C = symetrie(B, centre=(2,0)). Le lieu de C est un cercle translate.
O = point(0, 0, couleur="bleu")
c = cercle(O, rayon=3, couleur="bleu")
A = point_sur(c, 0, couleur="rouge")
B = rotation(A, centre=O, angle=60, couleur="gris")
C = symetrie(B, centre=point(2, 0), couleur="vert")
L = lieu(C, A, couleur="violet")